St. Petersburg Paradox

상트페테르부르크 역설 (St. Petersburg Paradox)

상트페테르부르크 역설은 확률론과

경제학에서 매우 중요한 사고실험입니다.

1738년 수학자 다니엘 베르누이가 이 역설을 분석하면서, 현대 경제학의

기대효용이론(Expected Utility Theory)의

기초를 제시했습니다.

#St_PetersburgParadox

핵심 질문은 다음과 같습니다.

수학적으로 기대수익이 무한대인 게임이 있다면,

당신은 그 게임에 얼마까지 지불하겠습니까?

1. 게임의 규칙

동전을 던져서 처음으로 앞면이 나올 때까지

계속 던집니다.

* 첫 번째 던지기에서 앞면이 나오면 2달러를 받습니다.

* 두 번째에서 처음 앞면이 나오면 4달러를 받습니다.

* 세 번째에서 처음 앞면이 나오면 8달러를 받습니다.

* 네 번째에서 처음 앞면이 나오면 16달러를 받습니다.

즉, 앞면이 처음 나올 때까지 걸린 횟수가 이면 보상은 달러입니다.

첫 앞면 확률 보상

1회째 1/2 $2

2회째 1/4 $4

3회째 1/8 $8

4회째 1/16 $16

10회째 1/1,024 $1,024

20회째 1/1,048,576 $1,048,576

2. 왜 역설인가?

기대수익(Expected Value)을 계산해 보겠습니다.

EX=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\times 2^n

따라서

EX=1+1+1+1+\cdots

결과는

\boxed{EX=\infty}

기대수익이 무한대입니다.

그렇다면 이론적으로는 게임 참가비가 100달러든,

1만 달러든, 100만 달러든 기대금전수익은

여전히 무한대입니다.

그런데 현실에서 사람들은 이 게임에

엄청난 돈을 지불하려 하지 않습니다.

이것이 바로 상트페테르부르크 역설입니다.

3. 베르누이의 해법: 기대효용이론

다니엘 베르누이는 사람들이 돈의 액수 자체보다

돈이 가져다주는 효용(Utility)을

기준으로 판단한다고 생각했습니다.

예를 들어 같은 1,000달러라도 가난한 사람에게는

매우 큰 의미가 있지만, 억만장자에게는

상대적으로 작은 의미일 수 있습니다.

이것을

한계효용체감(Diminishing Marginal Utility)이라고 합니다.

베르누이는 부의 효용을 로그함수로 표현했습니다.

\boxed{U(W)=\ln W}

여기서 는 개인의 부입니다.

돈이 늘어날수록 효용은 증가하지만,

증가 속도는 감소합니다.

이제 기대금액 대신 기대효용을 계산해 봅시다.

보상 자체에 를 적용하면,

EU(X)

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\ln(2^n)=\ln2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}\boxed{EU(X)=2\ln2}

기대금액은 무한대였지만, 기대효용은 유한합니다.

엄밀하게 실제 참가비를 계산할 때는 초기 자산과

참가비를 반영한 최종 자산의 효용을 비교해야 합니다.

4. 직접 체험해 보기

상트페테르부르크 게임 시뮬레이터

가상 게임

참가비

$20

첫 앞면이 나오는 횟수

4회째

받는 보상

$16

순손익

$4

이 결과가 나올 확률은 약 6.25%입니다.

횟수를 바꾸어 드문 고액 보상이 참가비를

얼마나 보상하는지 살펴보세요.

5. 라이프니츠, 볼테르와 연결하면?

앞서 이야기한 계몽주의 사상과 연결하면

흥미로운 차이가 드러납니다.

철학자 핵심 질문

라이프니츠

세계는 어떤 합리적 원리에 따라 존재하는가?

볼테르

이성적 설명이 현실의 고통과 인간 경험을 충분히

설명하는가?

베르누이

수학적 기대금액이 실제 인간의 판단을 설명하는가?

세 사람은 서로 다른 문제를 다루지만,

공통적으로 이성이 세계를 이해하는 데

어떤 역할을 하는가라는 계몽주의 시대의

문제와 연결됩니다.

상트페테르부르크 역설의 역사적 의미는

수학적 기대값과 인간이 실제로 평가하는

가치를 구별하도록 만들었다는 데 있습니다.

이러한 구별은 이후 경제학, 위험관리, 보험, 투자이론과 의사결정이론의 발전에 중요한 역할을 했습니다.

핵심 결론:

기대금액이 무한대라고 해서

인간에게 그 선택의 가치까지 무한대인 것은 아닙니다.

#베르누이

#달랑베르

#D'Alembert's_Theory

달랑베르의 확률 이론 (D’Alembert’s Theory)

장 르 롱 달랑베르 (1717~1783)

프랑스의 수학자, 물리학자, 계몽주의 철학자

디드로와 함께 《백과전서》 편찬을 주도했으며,

역학과 미분방정식, 확률론에 기여했습니다.

앞서 살펴본 상트페테르부르크 역설과 연결하면,

달랑베르의 가장 흥미로운 주장은 다음과 같습니다.

“수학적으로 가능한 사건이라도 발생 확률이

극도로 작다면 실제 의사결정에서는

무시할 수 있지 않은가?”

1. 달랑베르의 극소확률 이론

달랑베르는 확률이 극도로 작은 사건을

실생활에서 사실상 일어나지 않는 것으로

취급할 수 있다고 주장했습니다.

그는 약 1만 분의 1보다 작은 확률을

사실상 0으로 취급하는 기준을 제안했습니다.

P(A)<\frac{1}{10,000}

이면 실용적 판단에서

P(A)\approx 0

으로 보는 것입니다.

이것은 수학적으로 확률이 정확히 0이라는 뜻은

아닙니다.

의사결정에서 매우 작은 가능성을

제외하자는 제안입니다.

2. 상트페테르부르크 역설에 적용

상트페테르부르크 게임에서는 처음 앞면이 나오는

횟수에 따라 보상이 두 배씩 증가합니다.

첫 앞면 확률 보상

1회째 50% $2

5회째 3.125% $32

10회째 0.0977% $1,024

13회째 0.0122% $8,192

14회째 0.0061% $16,384

20회째 0.000095% $1,048,576

달랑베르의 기준을 적용하면

14번째 던지기에서 처음 앞면이 나올 확률부터는

무시합니다.

따라서 기대수익 계산에서

1~13회째의 결과만 포함하면,

EX{\text{절단}}=\sum{n=1}^{13}\frac{1}{2^n}\times2^n\boxed{EX_{\text{절단}}=\$13}

원래 무한대였던 기대수익이 13달러가 됩니다.

단, 이것은 원래 게임의 정확한 기대값이 아니라,

극소확률을 임의로 제외한 계산 결과입니다.

3. 베르누이와 달랑베르의 차이

구분 다니엘 베르누이 달랑베르

핵심 관점 돈의 효용이 감소한다 극소확률은 무시할 수 있다

변경하는 요소 보상의 가치 평가 확률의 실용적 취급

주요 개념 기대효용 극소확률의 무시

문제점 효용함수 선택에 의존 확률을 무시하는 기준이 자의적

베르누이는 보상의 가치에 주목했고,

달랑베르는 보상이 발생할 가능성에

주목했다는 차이가 있습니다.

4. 달랑베르 이론의 한계

달랑베르의 생각에는 중요한 반론이 있습니다.

예를 들어 발생 확률이 100만 분의 1인 사건이라도

피해가 엄청나다면 무시하는 것이 합리적일까요?

원자력 사고, 대규모 금융위기, 치명적인

시스템 오류처럼 발생 가능성은 작지만

손실이 막대한 사건에서는

극소확률을 무시하는 것이 위험할 수 있습니다.

또한 작은 확률이라도 수많은 시행이 반복되면

적어도 한 번 발생할 가능성이 커집니다.

따라서 현대 확률론에서는

작은 확률을 일률적으로 0으로 취급하지 않습니다.

5. 현대적 의미

달랑베르의 관점은 오늘날 다음과 같은 문제와

연결됩니다.

* 극히 드문 사건을 의사결정에서 얼마나 중요하게

다룰 것인가?

* 발생 확률과 손실 규모 중 무엇을 더 중시해야 하는가?

* 인간은 극소확률을 합리적으로 평가할 수 있는가?

이러한 질문은 위험관리와 행동경제학에서도

중요하게 다뤄집니다.

참고: The mean, the median, and the St. Petersburg paradox⁠ —

달랑베르의 극소확률 접근을 다룬 학술 논문

참고로 달랑베르에는 확률론 외에도 유명한

달랑베르의 원리(D’Alembert’s Principle)가 있습니다.

이는 힘과 운동을 다루는 고전역학 이론입니다.

또 도박에서 베팅액을 한 단위씩 늘리거나 줄이는

달랑베르 베팅법도 있습니다.

앞선 상트페테르부르크 역설의 맥락에 맞춰

확률 이론을 설명했습니다.

#행동경제학