AI 시대 최소한의 미적분 상식 3

"한 장의 그림(그래프)이 갖는 가장 큰 가치는, 우리가 전혀 예상하지 못했던 패턴을 눈으로 보게 해주는 데

있다." - 존 튜키(John Tukey, 미국 통계학자) -

우리가 살아가는 세상은 끊임없이 변합니다. 주식 시장의 주가는 시시각각 요동치고, 스마트폰의 배터리 잔량은 시간에 따라 줄어들며, 인공지능(AI)은 수많은 데이터를 학습하며 스스로의 성능을 발전시킵니다. 앞에서도 말씀드렸지만 미적분은 이렇듯 '움직이는 세상'을 수학이라는 언어로 포착하려는 시도입니다.

그렇다면 이 변화를 추적하기 위해 우리는 가장 먼저 무엇을 해야 할까요? 답은 생각보다 간단합니다. 변화의 규칙을 찾고, 그것을 눈에 보이게 그리는 것(시각화)입니다. 이것이 바로 미적분의 단단한 뼈대가 되는 '함수

(Function)'와 '그래프(Graph)'의 역할입니다.

함수: 입력을 출력으로 바꾸는 '마법의 상자'

아마도 수학시간에 y = f(x)라는 수식을 칠판에서 보았을 때 머릿속이 복잡해지신 경험들이 있을 것입니다. 하지만 오늘은 알파벳과 기호로 가득 찬 이 공식을 잠시 잊어버리고, 함수를 하나의 '마법의 상자'로 상상해 보았으면 합니다.

함수의 '함(函)'은 상자를 의미합니다. 따라서, 함수는 '상자 속에 담긴 수의 규칙'이라는 뜻이 됩니다. 이 상자는 아주 성실하고 정직해서, 우리가 무언가(입력값, x)를 집어넣으면 정해진 규칙에 따라 완전히 새로운 무언가(출력값, y)를 알려줍니다.

자판기: 동전(x)을 넣고 원하는 버튼을 누르면 음료수(y)가 나옵니다.

스마트폰 카메라: 화면 터치(x)를 하면 필터가 적용된 사진(y)을 찍습니다.

AI 번역기: 한국어 문장(x)을 입력하면 자연스러운 영어 문장(y)을 출력합니다.

결국 AI 시대의 최첨단 기술들도 본질적으로는 거대한 '함수 상자'에 불과합니다. 단지 그 상자 안의 규칙이 수십억 개의 다이얼로 이루어져 매우 복잡할 뿐입니다. 미적분은 이 상자 속 규칙이 입력값의 미세한 변화에 따라 어떻게 반응하는지 연구하는 수단입니다.

그래프: 숫자의 움직임을 보여주는 '지도'

아무리 훌륭한 함수 규칙이 있더라도, 숫자의 나열만으로는 변화의 흐름을 한눈에 파악하기 어렵습니다. 이때 우리에게 필요한 것이 바로 '그래프'입니다. 그래프는 추상적인 숫자의 관계를 시각적인 모양으로 그려내는 '변화의 지도'와 같습니다.

수평선(x축)을 '원인'이나 '시간'으로 두고, 수직선(y축)을 '결과'나 '상태'로 두어 점을 찍어나가면, 점들이 모여 선을 이루고 부드러운 곡선을 만듭니다. 우리는 이 곡선의 모양을 보고 직관적으로 깨닫습니다.

선이 오른쪽 위로 가파르게 올라간다면? "빠르게 성장하고 있구나!"

선이 완만해지다가 아래로 꺾인다면? "성장이 정체되고 하락하는구나!"

글이나 숫자로 표현하면 수십 페이지가 될 분량의 변화 양상이, 그래프라는 한 장의 그림을 통해 직관적으로 머릿속에 들어오는 것입니다.

AI는 그래프라는 지도의 고개와 골짜기를 달린다

AI가 학습을 통해 똑똑해지는 과정도 결국 함수와 그래프의 원리를 따릅니다.

앞 장에서 예시로 설명한 "안개가 자욱하게 낀 산에서 안전하게 내려오는 방법"은 결국 AI 개발자들이 AI가 내놓은 정답과 실제 정답 사이의 오차를 계산하는 '오차 측정기 함수(손실 함수)'를 만들어냅니다. 그리고 이 함수의 모양을 그래프로 그리면, 마치 수많은 봉우리와 골짜기가 있는 입체적인 '오차의 지도'를 확인할 수 있습니다. 이 지도에서 미적분은 어느 방향으로 가야 할지 알려줍니다. 이렇게 해서 AI는 쉽게 '오차가 가장 적은 가장 깊은 골짜기(최솟값)'를 찾아갈 수 있습니다.

결국 함수가 세상의 규칙을 정의하고, 그래프가 그 규칙의 지도를 그린다면, 미적분은 그 지도 위에서 가장 빠르고 안전한 길을 찾아내는 나침반 역할을 하고 있습니다.